[résolu] Equations différentielles

Axiome, propriété, géométrie, ..., que du bonheur ^^.
clement
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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par clement » mer. 29 mars 2006 11:40

J'ai trouvé d'autre formules de Machin, celle que je t'ai donné est celle écrite par John Machin, toutes les formules de ce type ont ensuite portées le nom de formule de Machin. J'espère que je ne me suis pas trompé et que ça ne t'a pas pénalisé.

Mais pour en revenir à mon problème initiale, voir le nouveau sujet Circuit RLC partie physique !

Coïyl
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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par Coïyl » jeu. 30 mars 2006 16:06

nan ça m'a pas pénalisé du tout vu que j'ai pas retrouvé l'énoncé de mon exo...

:roll:

clement
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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par clement » jeu. 13 juil. 2006 22:45

Je relance ma question.

Après avoir calculer mon discriminant, j'en fait quoi ?

Coïyl
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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par Coïyl » ven. 14 juil. 2006 10:47

bon alors je vais essayer de te répondre

tout d'abord avant de commencer les équa diffs, un petit truc qui va t'amuser: les dérivée énièmes de sinus et cosinus
quelque soit n entier naturel, la dérivée énième de cos(x) =cos (x+n*pi/2) et la dérivée énième de sin(x)=sin(x+n*pi/2)
la démo se fait par récurrence, malheureusement je ne sais pas faire les exposants à l'ordi donc *****

ensuite revenons aux équadiff: je peux te parler que des equations différentielles linéaires du second ordre...
posons ay"+by'+cy+d=0 (E)

Toute solution d'une équation différentielle linéaire est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière.

Recherche des fonctions Fh solutions de l'équation homogène
l'équation homogène (H) associée à (E) est (H) ay''+by'+cy=0 (pas de second membre)
l'équation caractéristique associée à (H) est (EC) ar²+br+c=0
tu calcules le discriminant, que je note D

si D0 ton équation admet deux racines réelles r1 et r2 et les solutions de (H) sont l'ensemble des fonctions {x- A exp(r1 x) + B exp(r2 x) /(A,B) réels }

si D=0 ton équation admet une racine réelle double r et les solutions de (H) sont l'ensemble des fonctions {x - A exp (r x) + B x esp(r x) / (A,B) réels }

si D0 ton équation admet deux racines complexes conjuguées z1 et z2 tq z1= a+ib et z2=a-ib et les solutions de (H) sont de la forme {x - A exp (z1 x) + B exp (z2 x) / (A,B) complexes } = { x - A exp (a+ib) + B exp (a-ib) / (A,B) complexes} mais ce sont les solutions dnas C l'ensemble des complexes ce qui n'est pas très intéressant, (vas savoir pourquoi) donc on considère l'ensemble des solutions dans R l'ensemble des réels: { x - A cos(b x) exp(a x) + B sin (b x) exp(a x) / (A,B) réels }

Recherche d'une solution particulière de (E):
soit Fp cette solution (NB :Fp est une fonction). On considère que Fp est solution donc a Fp"(x) + b Fp'(x) + c Fp(x) =-d
en prenant la forme présumée de F on développe et on obtient une solution particulière. Il y a trente six mille façons d'obtenir une solution particulière (on peut l'observer tout de suite, c'est bon aussi) donc je vais pas toutes les développer vu que tu verras ça l'année
prochaine...

donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions { x - Fh (x) + Fp (x)}

NB tu m'as demandé la résolution d'une equa diff de la forme ay"+by'+cy+d=0, ce qui implique que (a,b,c,d) sont des constantes. Mais la plupart du temps on a affaire à des équations de la forme a(x)y"+b(x)y'+c(x)y+d(x)=0 où a,b,c,d sont des fonctions de R ou de C... vivent les equa diff

Ps: en colle cette année qqun a dû retrouver l'équation différentielle d'un tsunami! on voit que les maths ça peut servir parfois!

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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par clement » ven. 14 juil. 2006 11:54

Merci beaucoup. :D
Bon, je n'ai pas encore tout lu mais en se qui concerne la solution dans C, seule la partie réelle est intéressante pour des raisons pratique, par exemple dans un circuit RLC, on utilise que la partie réelle de la solution pour tracer les courbes de uc(t).(car le discriminant est toujours négatif)

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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par Coïyl » ven. 14 juil. 2006 12:09

vi c ca , mais ce qui m'énerve c que tout de suite tu ramènes la conversation sur l'électricité lol
je haaaaaaaaaaaaaaaaaais l'électricité :twisted:

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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par clement » ven. 14 juil. 2006 13:10

C'est parce que je posais cette question pour résoudre un problème en électricité. Maintenant, je le saurais.

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Re: [résolu] Equations différentielles

Message par Coïyl » ven. 14 juil. 2006 19:14

oki :P

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