La parité

[sam]

En fait, le dévellopement limité vient de la formule de Taylor-Young qui donne la formule du dévellopement limitè à l'ordre n d'une fonction de classe Cn, c'est à dire dérivable n fois, mais comme j'ai la flemme d'aller chercher mon formulaire de physique, je vous propose d'aller voir sur wikipedia.
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9vel ... imit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... _de_Taylor

[- DarkStar -]

C'est un axiome car pour le prouver il faut montrer que la dérivée de (1) est négative sur ]-oo; 0] et positive sur [0; +oo[ et que la dérivée s'annule en 0.
Or la dérivée donne (2) (ce qui vérifie la condition dans haut car c'est la définition de la fonction impaire)

A contrario, il faut montrer que la dérivée de (2) est positive sur lR et que la dérivée s'annule en 0.
Or la dérivée donne (1) (ce qui vérifie la condition dans haut car c'est la définition de la fonction paire)

La dérivée seconde d'une fonction paire est une fonction paire ! f'(x²) = 2x ; f''(x²) = 2 cela est valable pour toutes les puissances : la dévivée d'une fonction de la forme kx^n, (k € lR et n un entier pair) donne knx^n-1 avec n impair. Donc la dérivée seconde donne (2n-1 + k)x^n-2 n-2 est pair. Elle s'annule sur lR dans le cas de x² et pas seulement sur zéro.. j'espère que ca peut aider lol

[clement]

Non, mais j'ai faux, j'ai fait des erreures de raisonnement, il ne faut regarder que mon dernier poste.

[sam]

Eh! Vous savez que toute fonction définie sur ]-a ; a [ est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire?

Soit f : ]-a ; a [ - |R
x |- f(x)

f(-x) bien défini car l'intervalle est centré en 0

On a f(x) = ( f(x) + f(-x) ) / 2 + ( f(x) - f(-x) ) / 2

On a g : ]-a ; a [ - |R
x |- ( f(x) + f(-x) ) / 2

qui est paire

et h : ]-a ; a [ - |R
x |- ( f(x) - f(-x) ) / 2

qui est impaire

et f = g + h

Etonnant, non?

[clement]

J'ai du mal à voir que f(x) = ( f(x) + f(-x) ) / 2 + ( f(x) - f(-x) ) / 2, est-ce vrai pour toutes fonctions définies sur ]-a;a[ ?

[sam]

Bin regarde si tu dévellope ta les f (-x) qui s'annulent et f(x) = f(x)/2 + f(x)/2

[clement]

C'est pas faut !
Démonstration comprise.

[sam]

De plus, on peut montrer que cette décomposition est unique!