Le problème de la quantification en mécanique quantique

[clement]

Hier soir, avec un mathématicien, nous nous sommes retrouvés confonté à un problème inattendu lors du passage d'exemples simples à des cas plus particuliers.

Position du problème :
Mécanique classique, le mouvement est décrit par (r,p) de lR^6 : lR^3 x lR^3
Mécanique quantique : on fait correspondre les observables R à r et P à p

Exemple :
E = p²/(2m) + V(r,t) en mécanique classique
H = P²/(2m) + V(R,t) en mécanique quantique

Le problème : cas des forces Coulombiennes (cas à une dimension) :
F = k/x² .i , k0
On sait que F dérive d'un potentiel :
F = - grad V(x) , ici F = -dV(x)/dx
= V(x) = -k/x

Donc E = p²/(2m) - k/x
Mais H = p²/(2m) - k/X n'a pas de sens.

[clement]

Problème résolu, pour les fonctions comportant des points singuliers, ils faut développer en série entière là où la fonction n'est pas analytique, c'est à dire au voisinage des points singuliers. Si on veut être rigoureux, il faut passer par la théorie des distribution, mais ne connaissant pas assez le lien entre distribution et mécanique quantique, j'en resterais là.